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之前的一篇著述“解说黎曼猜念念的新几何，把数学之好意思展现得长篇大论，树立数学之梦”提到，黎曼ζ函数是L函数的最粗浅示例：

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那么，L函数是什么呢？数学的中枢中有一个尽头真切的主题，叫作念对偶性（duality）。在线性代数中，有向量和它们的对偶对象，叫作念泛函（functional）。在量子力学中，有bra和ket。在群论中，有共轭类（conjugacy classe）和不行约暗示（irreducible representation）。在数论中，有素数和L函数。

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底下是一个尽头非形态化的解释：L函数是与素数对偶的对象。咱们将会取得一个更精准的对于L函数的界说，看两个粗浅的例子。

L函数的两个例子

黎曼ζ函数不错被写为：

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这里，分子齐是1。一般的L函数不错被写为：

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其中这些分子是一些数的序列：

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这些数在这个序列中被称为L函数的狄利克雷系数（Dirichlet coefficients）。

这是一个L函数的例子：

1,1,0,1,2,0,0,1,1,2,0,0,2,0,0,1,2,1,0,2,0,0,0,0,3,2,0,...

这乱骂常尽头很是，确切是神奇的序列之一，正好是一个L函数大略是一个L函数的系数。你能看出这个序列中的律例吗？能展望出下一个数字大略接下来的10个数字吗？

底下是一个更复杂的L函数的例子：

1,-1,-2,1,0,2,1,-1,1,0,0,-2,-4,-1,0,1,6,-1,2,0,-2，0,0,2,-5,4,…

这里的律例是什么？

上头两个序列是Motivic L函数的例子，这是从多项式方程构造的L函数。第一个例子是从方程x闲居加1等于0构造的L函数。咱们用字母K标记这个方程。

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第二个例子是从以下方程构造的L函数，咱们用字母E标记这个方程。

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当我说“从……构造”，是指一种机器，它以一个方程作为输入，生成一个序列作为输出。

如若你念念先把这个机器当作一个黑盒子来对待，不错借助Sage软件。对于第一个方程，只需要键入这一转代码：

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这里的变量是x。这个特定的方程界说了所谓的数域（NumberField），咱们条目这个数域的前20个L函数系数。

对于第二个方程，你不错输入这个代码：

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在这里咱们看不到本体的方程，而是简写成"14. a5"。这个方程界说了一个叫作念椭圆弧线（elliptic curve）的东西，然后求前20个系数。

这篇著述的主要主张是研究这两个L函数，解释这些序列若何从方程中出现，找到其中的基础模式（律例）。这些模式将是数学家所称的朗兰兹权术（langlands program）的实例。

LMFDB

在咱们深入这两个序列的具体情况之前，我念念先给你们看一下LMFDB，即L函数和模子形态数据库（L-functions and modular forms database）。

在LMFDB中，你会找到L函数以及产生L函数的对象。

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你不错看到椭圆弧线，数域。在名东谈主堂里，有黎曼zeta函数，拉马努金delta函数等等。当今，点击网页左上角的“Universe” ，你会看到：

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在这里，咱们看到了这个著名的图片，展示了朗兰兹权术中不同数学全国之间的考虑。最上头是L函数。L函数不错被视为孤立的实体，但咱们频频合计L函数是由某个其他对象构造的。而这些其他对象，我心爱称之为原始对象。在这张图片中，咱们不错看到三大类的原始对象。Motivic world在右边，Automorphic world在左边，伽罗瓦暗示不才面。是以每个原始对象齐会产生我方的L函数。

在数学中，Motive是一种详尽对象，用于长入和相识代数几何中各式不同的同态类。它们被合计是数学中的粒子”，是一种用于研究和相识更复杂数学结构的器用。Motive的认识来自于亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）在1960年代的一些念念法，这些念念法主张是为了处置一些基础问题，包括一些来自数论和代数几何的问题

当今，如故有两个Motive了，因为任何多项式方程齐不错被视为一个Motive。是以K是一个Motive，E亦然一个Motive。

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Motivic K有它的L函数“L下标K” ，

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对于E亦然访佛的，

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这等于咱们刚刚看到的那两个数字序列。当今，被称为“朗兰兹互换（langlands reciprocity）”的猜念念说，当有一个Motivic L函数，也等于从右边（Motivic world）过来的L函数，不错从左边（Automorphic world）找到一个Automorphic对象，能给出一样的L函数。

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如若有一个Motivic L函数，而况你得胜地解说了一个对应的Automorphic对象存在，那么L函数就具有所谓的清晰延拓和函数方程。这反过来意味着，不错究诘特定的L函数的黎曼假定。到目下收场有以下的主要不雅点：

这里存在着质数和L函数之间的对偶性，不错这么相识：每个L函数不错被视为某个希尔伯特空间中的一个向量。然后，每个质数不错被视为对偶希尔伯特空间中的一个向量。

存在一种机器，它以多项式方程作为输入，产生L函数作为输出。

回到这两个例子，K和E，以及它们的L函数。

K的秘要性

让咱们看一下等一个L函数。这个L函数的序列是：

1,1,0,1,2,0,0,1，……

让咱们把这些数字放入一个表格，

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第一个2是在a_5这里。在a_25这里有一个3。驱动的项是1,1,0,1,2。我念念给出一个若何从等式x^2+1=0构造这个序列的简化解释。咱们知谈，x^2+1=0用于从实数过渡到复数。咱们要作念的是从实数动手，引入一个新的数字，称之为i，其性质是i^2+1=0。使用加法和乘法这两个运算，不错生成更多的数字，整个这些数字加在一齐，称之为R与i的并集，大略用一个很是的标志C暗示，等于复数。

当今，咱们不错再作念一次一样的事情，但此次从整数动手，而不是实数。是以，像往时一样引入新的数字i，接洽整个不错通过乘法和加法产生的数字。这些数字的集会被写稿Z与i的并集，

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莫得很是的标志暗示它们，它们被称为高斯整数（Gaussian integers）。复数不错被视为一个二维平面。然后高斯整数等于具有整数系数的点的子集。举例3+2i或2-i，是以整个网格的交点齐是高斯整数。

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界说：一个高斯整数a加bi的范数（Norm）等于a闲居加b闲居。举例，3+2i的范数是

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当今让咱们联想几个小的高斯整数的范数。0的范数是0，1的范数是1，i的范数亦然1。1+i的范数是2，2的范数是4，2+i的范数是5。就这么不时下去。

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当今让咱们数一数，有几许点的范数是1，总共有四个点，

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但是有一个章程，那等于当一个点不错通过90度旋转形成另一个点时，他们就被合计是并吞个点。是以这四个点，它们只四肢一个，这个章程来自于乘以i等同于旋转90度的事实。

是以，范数为1的点有一个。范数为2的也只消一个点。范数为3的点则莫得。范数为4的点在图片上有两个，但它们被四肢并吞个。范数为5的点有两个。范数为6和7的点齐莫得，当今你可能如故认出了这个序列：1101200。

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让咱们看下25，它有三个点，

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这在一定进程上解释了方程x^2+1=0若何产生序列1101200……，这等于K的L函数。

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是以咱们如故从方程过渡到了L函数。当今有两个主要的挑战。

率先，还艰涩易看出如安在空虚际联想高斯整数的情况下联想序列的下一项或接下来的10项。有莫得递归或某种章程不错凭据前边的项生成下一个项呢？

第二，咱们以某种形势从方程x^2+1=0取得了L函数。有莫得一种要领不错平直取得L函数，而不使用方程呢？

望望这个：

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我所作念的是将这个序列写在顶部，然后罢免一个要领。这个要领是一个轮回，先减去，然后复制效果。

取第一个顶部元素1，减去底下写的整个内容，底下莫得东西，是以1减去莫得东西等于1，然后将1的副本散播在第一转：

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在第二列，取顶部元素1，减去底下整个内容。1-1等于0，然后将0的副本散播在第2行，以2为间距。

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第三列，取顶部元素0，减去底下整个内容。0-1=-1，然后将-1的副本散播在第3行，以3为间距，以此类推。

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第四列，有1-1-0=0，

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第五列，取得的是2-1，也等于1。

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然后0减这些数字，等于0，以此类推。

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让咱们不时：

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你看到律例了吗？望望对角线：

1、0、-1、0、

1、0、-1、0、

1、0、-1、0。

这等于律例。咱们当今不错用这个粗浅的周期性对角线重构L函数，只需按相悖的标的操作。是以我率先填写对角线，然后像之前一样在行等分填写副本，减法的反操作是加法，是以我只需要将每一列朝上乞降就不错取得顶部的元素。1的和是1，1和0的和是1，1加-1是0，1加0加0是1，1加1是2，以此类推。

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这么，咱们根底莫得使用方程K，咱们用一个更粗浅的对象，即对角线，重构了L函数。

当今这个对角线本体上是一个automorphic L函数。它是当然界中最粗浅的自守L函数之一，咱们使用这个automorphic对象，以某种真理真理上与黎曼zeta函数一齐，重构了原始的Motivic L函数，其中系数是1、1、1、1、1、1、1、1、1、1。

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E的秘要之处

朗兰兹权术。咱们需要再给出一个例子。回念念一下从方程E得出的序列。方程是：

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L函数是：

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这台机器经受一个方程，给出一个序列，这在前边的例子中使用高斯整数的计数刻画。在这个例子中，我将用不同的话语刻画一样的机器。

当今咱们将对不同的质数p进行模p解方程的计数。

对于任何正整数m，每当有一个带有整数系数的多项式方程时，就不错联想模m的解的数目，咱们从模2动手。

在这个例子中，先对方程的双方进行因式领会会更快。

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模2意味着x和y只然则0和1。整个的联想齐是在模2下完成的，是以举例1+1=0。

右边老是零，因为x大略x加1齐是0。

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因此左边也必须是零，那么可能是当y为0时，然后x不错是任何值，0或1。

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大略，如若y是1，那么括号里的值必须为零，这只消在x为0时才会发生。

总的来说，模2下有三个解：

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当y为0时，x不错是任何值，当y为1时，x为0。而解的数目，3，恰是咱们念念要找的。

当今让咱们联想模3下的解的数目。

x和y将是0，1或2。

整个的联想齐是在模3下完成的。右边是三个流通整数的乘积，其中一个会是0。因此整个这个词乘积齐是0，是以左边也必须是0。当今，要么y是0，x不错是任何值，要么y是1，那么括号里的必须为0，这意味着x是1。临了，y不错是2，那么x必须是0。

总的来说，有五个不同的解合适模3的方程。

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下一个质数是5，解的计数访佛，仅仅更多的分类责任。模5下会有5个解。

把这些情况作念成一个大的表格：

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第一转是n：1、2、3、4、5、6、7、8、9等等。第二行是质数p：2、3、5、7、11、13。在这些质数底下是解的数目。模2有3个解。模3有3个解等等。

咱们的主张是从这些解的数目中构造出L函数，将这个经过分为三步。率先对于质数，只需用质数自身减去解的数目。2减3等于-1，3减5等于-2，5减5等于0等等。临了一个是13减17，等于-4。

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对于任何方程，可能会有某些质数不同。咱们称它们为坏质数，对于这个方程E，不错联想出，坏质数是2和7。我在这里莫得展示联想经过。

第二步，对于质数的幂。对于2的幂（1、2、4、8），2是一个坏质数，对于坏质数的章程是，质数的幂对应的值应该是一个几何序列，从1动手。是以有1、-1，然后再有1，然后-1，这会在2的整个幂之间轮流出现1和-1。

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对于3的幂，3是一个好的质数，章程稍稍复杂一些，但是有一个递归公式不错求出3的幂对应的值，这在本例中为取-2（3对应的值）的闲居，也等于4，然后减去质数3。这取得了9的值为1。

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第三步，对于剩下的n的值，通过乘法性来联想。举例，对于数字6，6是2乘以3，是以为了联想我需要的数字，需要取-1（2对应的数字）乘以-2（3对应的数字），取得了2。对于10，10是2乘以5，需要取-1乘以0，取得的是0。临了，如若我将12领会为质数的乘幂，取得的是4乘以3，是以需要取-2乘以1，取得了-2。

最终的效果是：

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当今，咱们如故从不同质数模下的解计数中构造出了L函数。这个经过确切适用于任何方程。率先是质数，然后是质数的幂，然后是整个其他的数字。

但是仍然靠近着和前边的例子中一样的两个主要挑战。率先，有莫得一种章程，不错联想出序列中的下一个元素，其次，有莫得一种要领不错平直取得L函数，而不需要使用方程？

这里需要借助一些“硬币”来解释接下来的问题。 

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红色硬币的面额是1、2、3、4、5、6、7……

蓝色硬币的面额是2、4、6、8、10、12……

黄色硬币的面额是7、14、21、28……

绿色硬币的面额是14的倍数。

章程是每种类型的硬币齐有无穷多。

假定我要给你1块。有几许种形势？只消一种形势，给你一枚红色的一块钱硬币。

假定我要给你2块。有几许种形势？

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不错给你两个红色1块钱，大略一个红色的2块钱，大略一个蓝色的2块钱，一共有3种不同的形势。

那3块钱呢？

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有4种不同的形势。

将整个这些组合情况放入一个表格中。

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从0块钱动手，只消一种形势，那等于不给你任何硬币。2块钱3种形势，3块钱4种形势，然后是9、12、23、32、55、76、122等等（这是一个斐波那契数）。

底下是一个频频的乘法表：

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也许你会说这很败兴，但是望望对角线之和：

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他们是1、4、10、20……。让咱们用两个章程来构造一个新的、更令东谈主隆盛的乘法表。

率先，一边是这些硬币组统统数，1、1、3、4、9、12、23。第二个章程，对角线之和应该是序列：1、0、0、0、0、0、0、0……

第一个对角线之和应该是1，是以我这里需要一个1。这意味着我必须把1放在顶部，因为1乘以1是1。然后是1乘以3是3，1乘以4是4，等等：

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当今第二个对角线之和应该是0。

这意味着第一转第二列是-1，然后顶部应该是-1。这么不错填写出第二列：

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最终的效果是：

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咱们如故使用硬币构建了L函数，而况再次，这个经过的引东谈主详确的地点在于，咱们构建了E的L函数，却十足莫得使用方程。

当今，你可能会说，对于更大的n，比如20块钱，组合的数目跨越3000个，这种硬币计数变得尽头耗时。

但是，咱们不错用生成序列的话语来从头刻画这个硬币问题，有了这个器用，就很容易联想很大的数。这个L函数的生成序列是：

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顾忌一下，咱们不错从方程E中得出L函数，也不错通过十足不同的要领构建它。

本体上，这个生成序列是一个automorphic 对象。更准确地说，它是一个模形态（modular form），它给你的L函数与方程换取，而方程是一个椭圆弧线（elliptic curve）的例子。

对于朗兰兹权术

我念念谈谈更大的图景。

今天的朗兰兹权术，包括了令东谈主眼花头昏的好多不同的分支，但原始的主要分支，平直与L函数考虑，不错被称为全局数域（Global number fields），而这个主要分支包括两个主题。

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一个主题是函子性（Functoriality）；另一个主题是互惠性（Reciprocity）。互惠抒发的念念法是，任何motivic对象齐有一个相应的automorphic 对象，具有换取的L函数。对应干系的两侧的对象齐有一个维度，无意被称为秩。朗兰兹的互惠是对于任何维度的对象的声明，1、2、3、4、5等等。椭圆弧线和模子形态之间的对应干系，因为费马大定理而相配出名，是二维朗兰兹互惠的一部分。这等于咱们念念通过第二个例子，称为E，来抒发的。

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在一维，朗兰兹互惠包括了被称为阿廷互惠（Artin reciprocity）的东西，阿廷互惠的最粗浅情况是二次互惠，高斯发现的。他称之为黄金定理。咱们今天的第一个例子，K，是二次互惠定律的一个很是的案例，是以在某种真理真理上，它是一维朗兰兹互惠的最粗浅的案例。

如若你念念读一些对于朗兰兹权术尽头易于相识的东西，我会推选Edward Frenkel写的这本《Love and Math》crown皇冠哥，它是令东谈主难以置信的灿艳。

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